子序列问题
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子序列问题
最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
// 下标为i的最长递增子序列长度为dp[i]
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = 1;
// 最长肯定有1
int ans = 1;
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
// 找每个数的最长递增子序列
int max = 0;
// 0..i-1
for (int j = 0; j < i; j++) {
// 如果i比当前的数大说明可以以该数继续递增
if(nums[i] > nums[j]) {
max = Math.max(max, dp[j]);
}
}
// 加上当前数
dp[i] = max + 1;
ans = Math.max(ans, dp[i]);
}
return ans;
}
}
最长连续递增序列
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
class Solution {
public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
// 以i结尾的最长连续递增子序列为 dp[i]
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = 1;
int ans = 1;
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
// 如果大于前一个数就递增+1 否则从1开始计数
dp[i] = nums[i] > nums[i - 1] ? dp[i - 1] + 1 : 1;
ans = Math.max(ans, dp[i]);
}
return ans;
}
}
最长重复子数组
给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。
class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
// nums1从0..i-1, nums2从0..j-1, 最长重复子数组长度为dp[i][j]
int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
int maxLength = 0; // 记录最长重复子数组的长度
// 遍历 nums1 和 nums2
for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
// 如果两个元素相同，继续更新 dp 数组
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
maxLength = Math.max(maxLength, dp[i][j]); // 更新最大值
} else {
dp[i][j] = 0; // 不相等时长度为 0
}
}
}
return maxLength; // 返回最长重复子数组的长度
}
}
优化一维数组，每一行都是通过左上角递推过来，所以只需要一维数组记录上一行，遍历nums2需要从后往前，否则会出现覆盖。
class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int[] dp = new int[nums2.length + 1];
int maxLength = 0;
// 遍历 nums1 和 nums2
for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
for (int j = nums2.length; j > 0; j--) {
dp[j] = nums1[i - 1] == nums2[j - 1] ? dp[j - 1] + 1 : 0;
maxLength = Math.max(maxLength, dp[j]);
}
}
return maxLength;
}
}
最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
int m = text1.length(), n = text2.length();
// text1以0..i-1结尾, text2以0..j-1结尾的最长公共子序列是dp[i][j]
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
// 相同 0..i-1, 0..j-1为结尾 + 1
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
// 不同 0..i-1或0..j-1 取最长
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
不相交的线
在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足：
nums1[i] == nums2[j]- 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
这个问题其实就是最长子序列问题
class Solution {
public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
int m = nums1.length, n = nums2.length;
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for(int i = 1; i <= m; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
最大子数组和
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。子数组是数组中的一个连续部分。
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int n = nums.length;
// 以nums[i]为下标的最大子数组和为dp[i]
int[] dp = new int[n];
dp[0] = nums[0];
int ans = dp[0];
for(int i = 1; i < n; i++) {
// max(继续之前的连续和, 重新开始连续和)
dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
ans = Math.max(ans, dp[i]);
}
return ans;
}
}
判断子序列
给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。
字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。
进阶：
如果有大量输入的 S，称作 S1, S2, ... , Sk 其中 k >= 10亿，你需要依次检查它们是否为 T 的子序列。在这种情况下，你会怎样改变代码？
class Solution {
public boolean isSubsequence(String s, String t) {
int m = s.length(), n = t.length();
// dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for(int i = 1; i <= m; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}else{
// 只做t的删除
dp[i][j] = dp[i][j - 1];
}
}
}
return dp[m][n] == m;
}
}
不同的子序列
给你两个字符串 s 和 t ，统计并返回在 s 的 子序列 中 t 出现的个数，结果需要对 109 + 7 取模。
示例 1：
输入：s = "rabbbit", t = "rabbit" 输出：3 解释： 如下所示, 有 3 种可以从 s 中得到 "rabbit" 的方案。 rabbbitrabbbitrabbbit
class Solution {
public int numDistinct(String s, String t) {
int m = s.length(), n = t.length();
// 以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// 初始化
for(int i = 0; i <= m; i++) {
// t为空字符串的时候永远为1
dp[i][0] = 1;
}
for(int i = 1; i <= m; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
// 当前位置只从它的左上角和上方递推过来
if(s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
// (不考虑s, t最后一位) + (不考虑s[i - 1]考虑t最后一位)
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
}else{
// 不考虑s[i - 1]考虑t最后一位
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
两个字符串的删除操作
给定两个单词 word1 和 word2 ，返回使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数。
每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int m = word1.length(), n = word2.length();
// word1以i-1为结尾, word2以j-1为结尾相同需要dp[i][j]步
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// 初始化
for (int i = 1; i <= m; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[0][j] = j;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
// 相同无需删除
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 不同选择删除word1或者word2任意一个字符
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
编辑距离
给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
- 插入一个字符
- 删除一个字符
- 替换一个字符
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int m = word1.length(), n = word2.length();
// word1以i-1为结尾, word2以i-2为结尾, word1转换成word2锁使用的最少操作数为dp[i][j]
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[0][j] = j;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if(word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
// 无需操作
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 删除word1(等效插入word2)
int p1 = dp[i - 1][j];
// 插入word1(等效删除word2)
int p2 = dp[i][j - 1];
// 在dp[i - 1][j - 1]的基础上替换,dp[i - 1][j - 1]说明0..i-1已经是等于0..j-1了
int p3 = dp[i - 1][j - 1];
dp[i][j] = Math.min(p1, Math.min(p2, p3)) + 1;
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
回文子串
给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int n = s.length();
// 以i..j为区间的字串是否是回文, 默认都是false
boolean[][] dp = new boolean[n][n];
int ans = 0;
// 因为需要依赖到左下角的值 从下往上 从左往右
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
// j永远是>=i
for (int j = i; j < n; j++) {
// 如果s(i) == s(j)
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
// 如果当前字串长度 <= 1 说明i..j最多长度为1, 肯定是回文串
if (j - i <= 1) {
ans++;
dp[i][j] = true;
} else {
// 如果> 1需要看i+1..j-1区间是否是回文
if (dp[i + 1][j - 1]) {
ans++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
}
return ans;
}
}
最长回文子序列
给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。
子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
class Solution {
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
int n = s.length();
// s(i) ~ s(j) 最长回文子序列长度为dp[i][j]
int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
// 从下往上 从左往右 只遍历右上角区域
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
dp[i][i] = 1; // 初始化 对角线长度为1
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
// i == j的时候 dp[i + 1][j - 1] + 2
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
// max(不选左边, 不选右边)
dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[0][n - 1];
}
}